题目

如图，P是⊙O外一点，PAB，PCD分别与⊙O相交于A，B，C，D．

（1）PO平分∠BPD；（2）AB=CD；（3）OE⊥CD，OF⊥AB；（4）OE=OF．
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明．

提问时间：2021-03-19

答案

命题1，条件③④结论①②；命题2，条件②③结论①④．
证明：命题1
连接OA，OC，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴AB=2AF，CD=2CE，
∵OE=OF，OA=OC，∠AFO=∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（HL），
∴AB=CD，
同时可知，△PFO≌△PEO，
PO平分∠BPD．

本题为开放性题目，可有多种组合，例如：
条件③④结论①②，若OE⊥CD，OF⊥AB；OE=OF，根据角平分线的性质可知PO平分∠BPD；AB=CD；
命题2，条件②③结论①④．若AB=CD；OE⊥CD，OF⊥AB；根据垂径定理可知OE=OF，根据角平分线的性质可知PO平分∠BPD．

本题考点：垂径定理．

考点点评：此题考查的是垂径定理及角平分线的性质，比较简单．本题为开放性题目，可有多种组合，只要符合这四个已知条件即可．