题目

四棱锥P-ABCD,PA垂直平面ABCD,AC垂直AD,底面ABCD为梯形,AB//CD,AB垂直BC,PA=AB=BC求证PD//平面EAC
补充条件：点E在棱PB上，且PE=2EB

提问时间：2021-03-19

答案

连接BD,于AC交于F,连接EF,在平面DPB中,只需要证明EF//AP即可证PD//EAC.
在梯形ABCD中,因为AB//CD,所以三角形ABF相似于三角形CDF,所以BF：FD=AB：CD,因为AB=BC,所以AC=根号2*AB,因为AC垂直AD,且角ACD=90-角BCA=45度,所以CD=2*AB,所以BF：FD=1：2
在三角APB内,EB：PB=1：3,FB：DB=1：3,所以EB：PB=FB：DB,所以EF//PD,所以PD//EAC.