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题目
已知函数f(x)=x-sin2x,x∈[0,
π
2
]
,过点P(0,m)作曲线y=f(x)的切线,斜率恒大于零,则m的取值范围为 ___ .

提问时间:2021-03-19

答案
f′(x)′=1-2cos2x,x∈[0,
π
2
]
∴f′(x)∈[-1,3],
当f′(x)=3时,f(x)过点(
π
2
π
2

直线方程为:y-
π
2
=3(x-
π
2
),又过点P(0,m)
代入得m-
π
2
=3(0-
π
2
),解得m=-π
当f′(x)=0时,f(x)过点(
π
6
π
6
-
3
2

直线方程为:y-
π
6
+
3
2
=0,又过点P(0,m)
m=
π
6
-
3
2

因此m的范围是[-π,
π
6
-
3
2

故答案为:[-π,
π
6
-
3
2
)
先求导函数f′(x),根据x的范围从而求出f′(x)的取值范围,然后求出零界位置时m的取值,从而求出取值范围.

利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的斜率.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及三角函数的值域,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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