题目

已知函数f（x）=x3+3ax-1,a∈R． 当a≤0 时,请问:是否存在整数a的值,使方程飞f(x) =1有且只有一个实根?
已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R． 当a≤0 时,请问:是否存在整数a的值,使方程f(x) =15有且只有一个实根?若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由.

提问时间：2021-03-19

答案

f'(x)=3x²+3a
若a=0,f'(x)≥0恒成立,原方程只有一个实根
若a<0,f'(x)=0有两个实根X1=-√(-a),X2=√(-a)
由于f(-∞)<0,可以知道f(x)的图像是先是增函数,从-∞到X1之后递减,到X2之后再递增到+∞
所以要只有一个实根,只要函数图象和y=15只有一个交点,也就是f(x2)>15即可(自己画个图就明白了.这里传图像还要审核,太慢)
则f(x2)=f(√(-a))=-a√(-a)+3a√(-a)-1>15,化简得2a√(-a)>16,而a<0,显然不可能
所以a=0
刚才打错了.不好意思.