题目

等腰直角三角形OAB内接于抛物线y²=2px（p＞0），O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为 ___ ．

提问时间：2021-03-19

答案

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y12=2px₁，y22=2px₂，
由OA=OB得：x12+y12=x22+y22，
∴x12-x22+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+2p）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，2p＞0，
∴x₁=x₂，即A，B关于x轴对称．
∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由

y2=2px y=x

解得

x=0 y=0

或

x=2p y=2p

，
故AB=4p，
∴S_△OAB=

1

2

×2p×4p=4p²．
故答案为：4p²．

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，进而可求得AB=4p，从而可得S_△OAB．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查抛物线的简单性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．