题目

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面积S的最大值．

提问时间：2021-03-19

答案

由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及面积公式S=12absinC代入条件得S=c2-（a-b）2=a2+b2-2abcosC-（a-b）2，即12absinC=2ab（1-cosC），∴1−cosCsinC=14，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）由（1-k）2+（4k）2=cos2C+sin2C=1，...

利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后根据a+b=2，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．

本题考点：余弦定理．

考点点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．