题目

导数的应用
证明不等式
|(sinx-siny)/(x-y)-cosy|<=1/2|x-y|

提问时间：2021-03-18

答案

将sin函数在y点泰勒展开,由于sin的一阶导数是cos,二阶导数是-sin,所以
sinx=siny+cosy(x-y)+1/2*(-sin(y+a(x-y)))*(x-y)^2
其中a是一个介于0,1之间的数
那么
|(sinx-siny)/(x-y)-cosy|=1/2*|(-sin(y+a(x-y)))*(x-y)|
<=1/2|x-y|