题目

椭圆方程问题
在直线l：y=x+9上取一点P,过P作以F1（-3,0）,F2（3,0）为焦点且长轴最短的椭圆,求椭圆方程及P点坐标.并判定直线l和椭圆的位置关系

提问时间：2021-03-18

答案

根据题意可设椭圆方程为：x²/a²+y²/(a²-3²)=1(a>3)
根据题意可知,该椭圆经过直线l：上的点P
根据椭圆定义可知PF1+PF2=2a
故要使a最小就是使PF1+PF2最小
做对直线L做点F1的对称点F1',显然有
PF1+PF2=F1'+PF2>=F1'F2
设F1'为（x1,y1）点因点F1',F1的中点在直线L上
则（x1-3)/2+9=(y1+0)/2
又(y1-0)/(x1+3)=-1(与L相垂直故斜率=-1）
联立可得x1=-9,y1=6
此时4a²=12²+6²
a²=45
椭圆方程为：x²/45+y²/36=1
将y=x+9代入椭圆方程化简后
(x+5)²=0
x=-5,y=4
点P为（-5,4）,此时的直线与椭圆有唯一的交点,即说明直线L与椭圆相切.