题目

1.设P为双曲线x^2/a^2 -y^2 =1虚轴的一个端点,Q为双曲线上的一个动点,则|PQ|的最小值为____
2.已知曲线C:x^2+y^2=9(x≥0,y≥0)与函数y=Inx及函数y=e^x的图像分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1^2+x2^2的值为____

提问时间：2021-03-18

答案

1、判别式法:不妨取P(0,1),设Q(x,y),r＝|PQ|,则x^2+(y-1)^2＝r^2,它是一个圆,由题意知它和双曲线有交点,不难看出,当两者相切时,r取最小值.那么联立,消去x,得
(a^2+1)y^2-2y+(a^2+1-r^2)＝0
由△＝4-4(a^2+1)(a^2+1-r^2)＝0
解得r＝√{[a^2(a^2+2)]/(a^2+1)}
即|PQ|(min)＝ √{[a^2(a^2+2)]/(a^2+1)}
2、 函数y=Inx和函数y=e^x互为反函数,两者图像关于y＝x对称,那么相应的A点B点也关于y＝x对称,那么就有y2＝x1且x2＝y1
又点A在圆上,则x1^2+x2^2＝x1^2+y1^2＝9