题目

求函数f(x)=(x^4-3x^2-6x+13)^1/2-(x^4-x^2+1)^1/2的最大值

提问时间：2021-03-18

答案

先将根号下的式子,配方
得
f(x)=[(x^2-2)^2+(x-3)^2]^1/2-[(x^2-1)^2+(x-0)^2]
先根据平面直角坐标系中的
两点距离公式
l=[(y2-y1)^+(x2-x1)^2]^1/2 (这公式里的1和2都是脚标)
联想f(x)函数值表示的是两个线段的长度差
从而设函数
g(x)=x^2
那么函数g(x)上的任意一点为(x,x^2)
那么原函数f(x)的函数值可以看成是
点A(3,2)与函数g(x)上一点之间的长度,减去,点B(0,1)与函数g(x)上一点之间的长度.
画出图像
且由图像知当上述的两个线段组成一条直线时(即点A(0,1)到点B(3,2)的连线)
(因为此时直线AB与g(x)图像有两个交点,另点A左边的点为C,AB之间的点为D,取点C时最大值为CA-CB=BA,(因为如果g(x)上的一点C'与A,B点构成三角形,则有两边只差小于第三边,即C'A-C'B因此
此时有f(x)的最大值即最大值为AB的长度
为(直接用两点间距离公式)
[(2-1)^2+(3-0)^2]^1/2=√10
写出直线AB的解析式
AB:
y=1/3x+1
则解得
该直线与g(x)的图像交点
点C的横坐标为(1-√37)/6
点D的横坐标为(1+√37)/6
综上有当
x=(1-√37)/6 时
有f(x)的最大值为√10
(另外 新年快乐!)