题目

某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为：i=1：

3

（i=1：

3

是指铅直高度DE与水平宽度CE的比），CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45°
（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；
（2）求DE的长；
（3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长．（结果精确到0.01）

提问时间：2021-03-18

答案

（1）在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴AG=BG．
∴AB的坡度=

AG

BG

＝1；（2分）
（2）在Rt△DEC中，
∵tan∠C=

DE

EC

＝

3

3

，
∴∠C=30°．
又∵CD=10，
∴DE=

1

2

CD=5（m）；（5分）
（3）由（1）知AG=BG=5．
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
tan∠AFG=

AG

FG

，
即

3

3

＝

5

FB+5

，（7分）
解得FB=5

3

-5≈3.66．                        （10分）
答：改建后需占路面宽度约为3.66m．             （11分）

（1）坡度为坡角的正切值，由此可求出坡面AB的坡度；
（2）在Rt△CED中，根据坡比可求出坡角的度数，进而由坡角的正弦函数求出DE的长；
（3）分别在Rt△AFG和Rt△AGB中，根据坡角的度数和铅直高AG的长求出水平宽FG、BG的长，进而可由FB=FG-BG求得FB的长．

本题考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

考点点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．需注意的是坡度（即坡比）是坡角的正切函数，不要混淆概念．