题目

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在一点P使|PF₁|=e|PF₂|，则该椭圆的离心率e的取值范围是______．

提问时间：2021-03-18

答案

设点P的横坐标为x，∵|PF₁|=e|PF₂|，则由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），
∴x=

c−a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c−a

e(e+1)

≤a，∴-1≤

e−1

e(e+1)

≤1，
∴

e−1 ≥ e2− e e−1 ≤ e2+ e

，∴

2

-1≤e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[

2

−1，1），
故答案为：[

2

−1，1）．

由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），解得x=

c−a

e(e+1)

，由题意可得-a≤

c−a

e(e+1)

≤a，
解不等式求得离心率e的取值范围．

本题考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义．

考点点评：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x+

a2

c

）=e•e（

a2

c

-x），是解题的关键．