题目

在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点
在四棱锥E-ABCD中.底面ABCD是正方形.AC与BD交于点O.EC垂直于底面ABCD.F为BE中点
.求证DE平行于ACF
.若AB等于根号2CE在线段EO上是否存在点G.使CG垂直平面BDE?若存在,求出EO/EG的值,若不存在,请说明理
2.求证 BD⊥AE

提问时间：2021-03-18

答案

（1）
作GB垂直于平面ABCD且满足BG=CE,因为CE也垂直于平面ABCD,所以CE平行于BG
且角ECB=90°,所以BGEC是矩形,故EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD
由于EG和AD平行且相等,所以DEGA是平行四边形,所以DE∥AG,
由于F是BE中点,而BGEC是矩形,连接CG,显然CG交BE 与点F,故G在线段CF延长线上
故CG和CF是同一条直线,也就是平面ACF和平面ACG是同一个平面
而DE∥AG,AG∈平面ACG=平面ACF,所以DE∥平面ACF,证毕.
（2）
连接CO,显然CO⊥BD（因为ABCD是正方形）,
因为ABCD是正方形,所以CB=CD,显然有三角形CEB全等于三角形CED,故BE=DE
又因为O是BD中点,所以EO⊥BD,又CO⊥BD,所以平面COE⊥BD,
所以平面COE⊥平面BED,故在平面CEO上作CH⊥OE交OE（或者OE的延长线[因为还不确定是不是在线段OE上]）于点H,则显然CH⊥平面BDE,
又因为角ECO=90°,所以三角形CEO是锐角三角形,显然其高CH在三角形内部,即H在EO线段上.
因为角ECO和角CHE都是直角,∠ECH=∠COH=90°-∠HCO,所以sin ECH=cos HCO
又设AB长为a*根号2,则CE=a,BD=2a,CO=BO=DO=a
tan ECH=tan HOC=EC:CO=1,所以∠COE=45°,所以∠ECH=∠OCH=∠COE=∠OEC=45°
所以EH:HO=tan ECH：tan HCO=1,所以H是OE的中点,故EO：EH=2