题目

如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4(1)求A,B,C的坐标（2）点P是线段OA上一点,PQ⊥PB,交线段OC于点Q,若点P的横坐标是-3,求四边形PBOQ的面积（3）当点P在线段OA上运动,点Q随之在线段OC上运动时（点Q不与点O,C重合）下列结论：①∠ABP+∠QPO的值不变；②∠OBQ+∠QPO的值不变,其中有且只有一个成立,请你判断哪个结论成立,并求出其值.

提问时间：2021-03-18

答案

第一问：A坐标（-4,4） B坐标（-4,0） C坐标（0,4）
第二问：
①连接PC,过P点作PE垂直于OC,垂足为E
②因为BO=CO ∠BOP=∠COP OP=OP
所以△BOP≌△COP
所以∠PBO=∠PCO
③因为∠BPQ与∠BOQ均为直角,即∠PBO的两边分别垂直于∠PQO的两边,
所以∠PBO+∠PQO＝180°又因为∠PQC+∠PQO=180°
所以∠PBO=∠PQC
④根据②、③可得∠PCO=∠PQC
所以PC=PQ 又PE为公共直角边,
所以△PEC≌△PEQ
所以EC=EQ
⑤因为P点在正方形对角上,它的横坐标为-3
所以它的纵坐标为3 即（-3,3）,
所以EQ=EC=4-3=1
所以OQ=OC-EQ-EC=4-1-1=2
⑥因为△OQP的面积＝（2×3）÷2＝3
△BPO的面积＝（4×3）÷2＝6
所以四边形PBOQ的面积＝△OQP的面积+△BPO的面积＝3+6＝9
第三问:
①因为：∠ABP+∠QPO＝∠ABP+(∠BPQ-∠BPO)
＝∠ABP+90°-∠BPO
＝∠ABP+90°－（∠ABP+∠BAP)
＝90°－∠BAP
＝45°