题目

设A是n*n矩阵,X是任意的n维向量,B是任意的n阶方阵,则下列说法错误的是：
（A）AB=O→A=O
（B）B'AB=O→A=O
(C) AX=0→A=0
(D) X'AX=0→A=O
但是我只能证明A,其他三项能给出证明解释吗?

提问时间：2021-03-18

答案

(C)和(A)是完全等价的,既然任何向量x都能得到Ax=0,让x取遍B的列就得到AB=0,可以归结到(A)
对于(D)而言,A可以是任何反对称矩阵（也只能是反对称矩阵）,所以不能推出A=0
(B)与(D)之间的关系和(C)与(A)之间的关系略有点不同,(D)无法推出(B)（因为(D)只体现出B'AB中的对角元）,由(D)可知A必须是反对称矩阵,如果A的(i,j)元素非零,那么取B为只有(i,i),(j,j)两个位置为1其余皆为0的矩阵即得B'AB≠0,所以(B)可以得到A=0