题目

证明：设f(x)在R上有定义,存在正常数k,T,使得对所有x∈R,有
f(x+T)=k*f(x)
则f(x)=a^x*Φ(x)其中a是正常数,是以为T周期的周期函数

提问时间：2021-03-18

答案

证明：f（x）=a^x*Φ(x),则
Φ(x)=f(x)/(a^x)
∴Φ(x+T1)=f(x+T1)/(a^(x+t1))=k1*f(x)/(a^T1*a^x)
令T2=k1/(a^T1),则
Φ(x+T1)=T2*f(x)/(a^x)=T2*Φ(x)
因此,
f(x+T1)=a^(x+T1)* Φ(x+T1)
=a^T1*a^(x)*T2*Φ(x)
=(a^T1*T2)*a^x*Φ(x)
=a^T1*k1/(a^T1)*a^x*Φ(x)
=k1*a^x*Φ(x)
=k1*f(x)
若f(x)=a^x*Φ(x)是以T为周期的周期函数,则k=k1=1,T=T1
取k=k1=1,T=T1,
所以存在正常数k=1,T,满足题意,结论得证.