题目

如图,在平面直角坐标系中,点C(-3,0),点A、B分别在x轴,y轴的正半轴上,且满足根号(O
如图,在平面直角坐标系中,点C（-3,0）,点A、B分别在x轴,y轴的正半轴上,且满足根号（OB²-3）+绝对值（OA-1）=0.
（1）求点A、B坐标.
（2）若点P从点C出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AP.设△ABP面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
（3）在（2）的条件下,是否存在点P,使以点A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2021-03-18

答案

（1）因为√(OB^-3)+|OA-1|=0,所以有OB=√3,OA=1,因为A,B分别在x轴y轴正半轴上,所以有A（1,0）,B（0,√3）
（2）可以求出BC=2√3,AB=2,而AC=1+3=4,可以得出ΔABC是直角三角形,∠ABC=90度
点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,通过此条件可以得出：CP=t,且t∈[0,2√3]
S=SΔABP=PB*AB/2=(BC-PC)*2/2=2√3-t,其中t∈[0,2√3]
（3）若是存在P点使ΔABP相似于ΔAOB,那么由∠PBA=90度可以得出,PB,AB是ΔABP的两条直角边,且它们的比例应满足ΔAOB中两条直角边的比,而由于OA,OB是ΔAOB的两条直角边,它们互不相等,OB/0A=√3/1=√3,所以ΔPAB中的两条直角边PB,AB之比也应等于√3,只是无法确定它们谁长谁短而已,需分类讨论
若PB比AB长,那么有PB/AB=√3,则PB=√3*2=2√3,t=PC=BC-PB=2√3-2√3=0,可以看出,此种情况下P点与C点重合,P的坐标是（-3,0）
若AB比PB长,则有AB/PB=√3,PB=√3*2/3=2√3/3,t=2√3-2√3/3=4√3/3,满足t的取值范围,所以此点也存在
过B（0,√3）与C（-3,0）两点的直线方程可求出为y=√3x/3+√3,而P位于此上,且由几何关系可以得出yp=t/2=2√3/3,代入直线方程可得xp=-1
所以P坐标为（-1,2√3/3）