题目

x2+y2+z2=1,求xyz存在的最大值!

提问时间：2021-03-18

答案

xyz存在的最大值,只考虑x,y,z＞0即可
2xy≤x²+y²
2yz≤y²+z²
2zx≤z²+x²
三式相加得
2(xy+yz+zx)≤2(x²+y²+z²)
xy+yz+zx≤1.①
xy+yz+zx≥3³√(xyz)².②
由①,②有
3³√(xyz)²≤xy+yz+zx≤1
当且仅当x=y=z即x=y=z=√3/3时,3³√(xyz)²有最大值1
3³√(xyz)²=1
³√(xyz)²=1/3
(xyz)²=1/27
xyz=√3/9
xyz存在的最大值为√3/9