题目

设有两个命题：
命题p：不等式|x-1|+|x-3|＞a对一切实数x都成立；
命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上单调递减．
若命题“p或q“为真，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-18

答案

令f（x）=|x-1|+|x-3|，
则f（x）=|x-1|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2，
即f（x）_min=2，
∵命题p：不等式|x-1|+|x-3|＞a对一切实数x都成立，
∴a＜f（x）_min=2．
又命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，
∴f（-1）=-m+n=2①
f′（-1）=3m（-1）²+2n（-1）=-2，即3m-2n=-2②
由①②得：m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，
∴f′（x）=6x²+8x=2x（3x+4），
∴当-

4

3

≤x≤0时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-

4

3

，0]上单调递减．
∵f（x）=2x³+4x²在[a，a+1]上单调递减，
∴

a≥− 4 3 a+1≤0

，解得-

4

3

≤a≤-1．
∵“p或q“为真，[-

4

3

，0]⊂（-∞，2）．
∴a＜2．

利用绝对值不等式的几何意义可求得命题p真时a的取值范围，由导数的几何意义可求得f（x）的解析式，f（x）在[a，a+1]上单调递减可求得实数a的取值范围，再由“p或q“为真即可求得答案．

本题考点：绝对值不等式的解法；命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查命题的真假判断与应用，求得命题p真与命题q真时实数a的取值范围是关键，属于中档题．