题目
已知函数f(x)=x2-x+a+1
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.
(1)若f(x)≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
(2)求f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.
提问时间:2021-03-17
答案
(1)∵二次函数f(x)=x2-x+a+1,且f(x)≥0对一切实数x恒成立,
∴△=(-1)2-4(a+1)≤0,即-4a-3≤0,解之得a≥-
因此,实数a的取值范围是[-
,+∞).
(2)配方,得f(x)=x2-x+a+1=(x-
)2+a+
①当a≤
时,函数在(-∞,a]上为减函数,所以最小值为f(a)=a2+1=g(a);
②当a>
时,函数在(-∞,
]上为减函数,在(
,a]上是增函数
此时,f(x)的最小值为f(
)=a+
因此f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式为:
g(a)=.
.
∴△=(-1)2-4(a+1)≤0,即-4a-3≤0,解之得a≥-
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因此,实数a的取值范围是[-
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(2)配方,得f(x)=x2-x+a+1=(x-
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①当a≤
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②当a>
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此时,f(x)的最小值为f(
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因此f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式为:
g(a)=.
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(1)根据题意,函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴不相交,由此结合根的判别式建立关于a的不等式,解之即可得到实数a的取值范围;
(2)因为函数的图象对应的抛物线开口向上,关于直线x=
对称,所以分a≤
和a>
时两种情况加以讨论,结合二次函数的单调性进行求解,即可得到f(x)在区间(-∞,a]上的最小值g(a)的表达式.
(2)因为函数的图象对应的抛物线开口向上,关于直线x=
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二次函数的性质;函数的值域.
本题给出含有字母参数a的二次函数,讨论函数恒成立并求函数在区间(-∞,a]上的最小值.着重考查了二次的图象与性质、分类讨论的思想和分段函数等知识,属于基础题.
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