题目
已知函数f(x)=2x^3-3(a+3)x^2+6(a+2)x,其中a的绝对值小于2
若f(x)在(0,正无穷)上有最小值,求a的范围
上面是第二问，第一问是若f(x)在R上单调递增，求a的值。
第一问不用解答，供第二问解答作参考
若f(x)在(0,正无穷)上有最小值,求a的范围
上面是第二问，第一问是若f(x)在R上单调递增，求a的值。
第一问不用解答，供第二问解答作参考
提问时间：2021-03-17
答案
答：
|a|<2,-2
求导：
f'(x)=6x²-6(a+3)x+6(a+2)
=6*(x-1)*[x-(a+2)]
解f'(x)=0得：
x1=1,x2=a+2>0
1）当a+2=1即a=-1时：
f'(x)>0=恒成立,f(x)是增函数,在x>0时不存在最小值
2）当-21时,f'(x)>0,f(x)是增函数
x=a+2时取得极大值,x=1时取得极小值
f(0)=0,f(1)=2-3(a+3)+6(a+2)=3a+5<0
解得：a<-5/3
所以：-2a+2时,f'(x)>0,f(x)是增函数
x=1取得极大值,x=a+2取得极小值
f(a+2)=2(a+2)³-3(a+3)(a+2)²+6(a+2)²
=2(a+2)²(a+2-3a-9+6)
=2(a+2)²(-2a-1)<0
所以：2a+1>0
解得：a>-1/2
所以：-1/2
|a|<2,-2
求导：
f'(x)=6x²-6(a+3)x+6(a+2)
=6*(x-1)*[x-(a+2)]
解f'(x)=0得：
x1=1,x2=a+2>0
1）当a+2=1即a=-1时：
f'(x)>0=恒成立,f(x)是增函数,在x>0时不存在最小值
2）当-2
x=a+2时取得极大值,x=1时取得极小值
f(0)=0,f(1)=2-3(a+3)+6(a+2)=3a+5<0
解得：a<-5/3
所以：-2
x=1取得极大值,x=a+2取得极小值
f(a+2)=2(a+2)³-3(a+3)(a+2)²+6(a+2)²
=2(a+2)²(a+2-3a-9+6)
=2(a+2)²(-2a-1)<0
所以：2a+1>0
解得：a>-1/2
所以：-1/2
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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