题目

重金：三角形ABC中,∠BAC＝60°,∠ACB＝20°,三角形ABC中有一点P,∠PAC＝40°,∠PCA＝10°,求∠PBA
三角形ABC中,∠BAC＝60°,∠ACB＝20°,三角形ABC中有一点P,∠PAC＝40°,∠PCA＝10°,求∠PBA为几度.

提问时间：2021-03-17

答案

延长CB到点D,使CD=CA,连接PD,延长CP交AD于点H.
∵CD=CA,△CAD为等腰三角形
∴∠CAD=∠ADC=0.5（180°-∠ACB）=80°
∠BAD=∠CAD-∠CAB=80°-60°=20°
∠PAB=∠BAC-∠PAC=60°-40°=20°
∠PAD=∠PAB+∠BAD=40°
∠ABD=180°-∠BAD-∠ADC=180°-20°-80°=80°=∠ADC（即∠ADB）
∴△DAB是等腰三角形,AB=AD
又∠HCA（即∠PCA）＝10°,∠ACD（即∠ACB）=20°,CH是∠ACD的角平分线
在等腰△ACD中,顶角∠ACD的平分线CH垂直平分底边AD,AH=0.5AD=0.5AB
PA=AH/cos∠PAD=AH/cos40°
AB=2AH
在△PAB中
AB/sin∠APB=PA/sin∠PBA
sin∠APB=sin(180°-∠APB)=sin(∠PAB+∠PBA)=sin（20°+∠PBA）
得
2AH/sin（20°+∠PBA）=(AH/cos40°)/sin∠PBA
2cos40°sin∠PBA=sin（20°+∠PBA）
2sin50°sin∠PBA=sin（20°+∠PBA）
cos（50°-∠PBA）-cos（50°+∠PBA）=sin（20°+∠PBA）
sin（40°+∠PBA）-sin（40°-∠PBA）=sin（20°+∠PBA）
sin（40°+∠PBA）=sin（20°+∠PBA）+sin（40°-∠PBA）=2sin0.5（20°+∠PBA+40°-∠PBA）cos0.5（（20°+∠PBA）-（40°-∠PBA））=2sin30°cos（∠PBA-10°）=cos（∠PBA-10°）=sin（100°-∠PBA）
由sin（40°+∠PBA）=sin（100°-∠PBA）,得
40°+∠PBA=n180°+（100°-∠PBA）或者n180°-（100°-∠PBA）,n为整数
当40°+∠PBA=n180°-（100°-∠PBA）时,展开得到40°=n180°-100°（n为整数）不成立
∴40°+∠PBA=n180°+（100°-∠PBA）
∠PBA=（n180°+60°）/2,且0°＜∠PBA＜∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB,即0°＜∠PBA＜100°
得到当n=0时,有∠PBA=30°符合题意.