题目

已知S是两个整数平方和的集合,即S=｛X|X=M²+N²,M∈Z,n∈Z｝.求证：
1.若s,t∈S,则st∈S
2.若s,t∈S,t≠0,则s/t=p²+q²,其中p,q为有理数

提问时间：2021-03-17

答案

1.若s,t∈S,
则s = m^2 + n^2,t = u^2 + v^2,其中m,n,u,v∈Z.
那么st = (m^2 + n^2)(u^2 + v^2) = (mu + nv)^2 + (mv - nu)^2,
其中mu + nv∈Z.,mv - nu∈Z.
所以st∈S
2.若s,t∈S,t ≠0,
仍设s = m^2 + n^2,t = u^2 + v^2,其中m,n,u,v∈Z.
因为t ≠0,故u,v不同时为零.
则s/t = st/t^2 = (m^2 + n^2)(u^2 + v^2)/(u^2 + v^2)^2
= ((mu + nv)^2 + (mv - nu)^2)/(u^2 + v^2)^2
= {(mu + nv)/(u^2 + v^2)}^2 + {(mv - nu)/(u^2 + v^2)}^2
设p = (mu + nv)/(u^2 + v^2),q = (mv - nu)/(u^2 + v^2),
则p,q为有理数,且s/t=p²+q².