题目

已知双曲线y＝

3

x

和直线y=kx+2相交于点A（x₁，y₁）和点B（x₂，y₂），且x₁²+x₂²=10，求k的值．

提问时间：2021-03-17

答案

由

y＝kx+2 y＝ 3 x

，
得

3

x

=kx+2，
kx²+2x-3=0．
∴x₁+x₂=-

2

k

，x₁•x₂=-

3

k

．（2分）
故x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

4

k2

+

6

k

=10．
∴5k²-3k-2=0，
∴k₁=1或k₂=-

2

5

．（4分）
又△=4+12k＞0，即k＞-

1

3

，舍去k₂=-

2

5

，
故所求k值为1．（6分）

两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式，因此，把y=kx+b代入反比例函数解析式，消去y，即可得到一个关于x的一元二次方程，x₁与x₂就是这个方程的两根．再根据根与系数的关系即可解得k的值．

本题考点：反比例函数与一次函数的交点问题；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系．

考点点评：本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点．先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．