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题目
已知双曲线y=
3
x
和直线y=kx+2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且x12+x22=10,求k的值.

提问时间:2021-03-17

答案
y=kx+2
y=
3
x

3
x
=kx+2,
kx2+2x-3=0.
∴x1+x2=-
2
k
,x1•x2=-
3
k
.(2分)
故x12+x22=(x1+x22-2x1•x2=
4
k2
+
6
k
=10.
∴5k2-3k-2=0,
∴k1=1或k2=-
2
5
.(4分)
又△=4+12k>0,即k>-
1
3
,舍去k2=-
2
5

故所求k值为1.(6分)
两个函数交点的坐标满足这两个函数关系式,因此,把y=kx+b代入反比例函数解析式,消去y,即可得到一个关于x的一元二次方程,x1与x2就是这个方程的两根.再根据根与系数的关系即可解得k的值.

反比例函数与一次函数的交点问题;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式;根与系数的关系.

本题综合考查反比例函数与方程组的相关知识点.先由点的坐标求函数解析式,然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标,体现了数形结合的思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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