题目
已知f(x)是实数集R上的函数,且对任意x∈R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)已知f(3)=2,求f(2 004).
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)已知f(3)=2,求f(2 004).
提问时间:2021-03-17
答案
(1)证明∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)
∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x)
=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1).
∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1]
=-f(x).
∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x).
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
(2)∵f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
f(2004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
则f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x)
=f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1).
∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1]
=-f(x).
∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x).
∴f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
(2)∵f(x)是周期函数且6是它的一个周期.
f(2004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1世界上最早的飞行动物是哪种
- 2已知等腰三角形ABC,过其中一个顶点将大三角形分割成两个等腰三角形,请画出草图并标出角BAC的度数.
- 3野心勃勃的勃勃是什么意思
- 4Sometines my mother flies a kite with me in the park.对a kite提问
- 5英文 关于 怎么翻译 我要所有的?
- 6小明登山,上山每小时3千米,下山每小时5千米,上山和下山共用去4小时,小明上山行了几千米
- 7角度换算:23度30分=-----度 65度43分12秒=-----度 108度18分-52度30分=-----------
- 8下面的英语句子有语法错误么
- 9英语 以前农场有许多果树的否定句怎么改?(一般过去时)
- 10什么形式的运动满足dv/dt等于0,dv/dt不等于0.
热门考点