题目

试用平面图形的面积来解释恒等式（a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2(其中a>0,b>0)

提问时间：2021-03-17

答案

a = 2b时,等式的等号两边都为0,等式显然成立.
设 a > 2b > 0.
画一个边长为a的正方形ABCD.[面积为a^2]
将这个正方形的水平边(AB)的边长增加2b,竖直边的边长(AD)减少2b,得到一个长方形AEFG.[面积为(a+2b)(a-2b)]
AE = a+2b,AG = a-2b.
记BC与FG的交点为H,DC和EF的延长线相交于点I.
长方形CDGH的面积为2ab.
长方形BCIE的面积为2ab.
正方形CHFI的面积为4b^2.
长方形CDGH的面积 = 长方形BCIE的面积
= 长方形BEFH的面积 + 正方形CHFI的面积
a^2 = 正方形ABCD的面积
= 长方形ABHG的面积 + 长方形CDGH的面积
= 长方形ABHG的面积 + 长方形BEFH的面积 + 正方形CHFI的面积
= 长方形AEFG的面积 + 正方形CHFI的面积
= (a+2b)(a-2b) + 4b^2
同样,a < 2b时,类似地可以证明上面的结论.
因此,恒等式
（a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2
成立.