题目

使用泰勒公式中,发现的一个疑问
泰勒中值定理：若函数f(x)在含有X.的某个开区间（a,b）内有直到n+1阶的导数,则对任一X属于（a,b）,有.
定理是这么定的;但在使用中,很多情况是在X.是在端点处的点,如,在闭区间[a,b]内有直到n+1阶.然后我在a点展开泰勒公式; 但定义中只说若函数f(x)在含有X.的某个开区间（a,b）内,为啥很多使用中,都能在端点处展开泰勒公式呢?
既然在闭区间[a，b]内有直到n+1阶的导数，那么在a和b展开也不奇怪了
定义泰勒中值定理时,是在开区间（a，b）内有直到n+1阶的导数,在开区间内的一个点展开;
而在使用中,确常是在闭区间[a，b]内有直到n+1阶的导数，在a和b点展开~
这点我不是很明白~那为啥定义时不采用闭区间[a，b]呢?

提问时间：2021-03-17

答案

不是很理解你的问题,既然在闭区间[a,b]内有直到n+1阶的导数,那么在a和b展开也不奇怪了
补充：在闭区间端点的导数其实是开区间内电导数的极限,只要求一边可导即可,不像通常可导的定义要求两边可导且导数相同.所以为了简洁和统一,泰勒里用开区间.
另外数学上开区间（开集）的用处远远大于闭集,几乎所有定义都是在开集上的,连闭集本身都是（开集的补集）.