题目

抽象函数的变形问题
看到书上有f(x2)-f(X1)=f(x2-x1),还有f(-3)=-f(3)=-3f(1),这些变形对吗?还是要结合题目给的式子才能实现这些变形?除此之外还有其他类似的变形吗?

提问时间：2021-03-17

答案

像f(x2)-f(X1)=f(x2-x1)不具有普遍规律,是跟题目条件有关的,比如说题目给出f(x-y)=f(x)-f(y).
而f(-3)=-f(3)=-3f(1),单看这个式子也是没有太大意义的.像奇函数f(x)=-f(-x)、偶函数f(x)=f(-x)、反函数等变形才是你真正要掌握的,具有普遍意义的.学到它们结合周期时会容易使人混淆.
其他常见的抽象函数形式有
幂函数：f(xy)=f(x)f(y)
正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)
对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)
三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)
周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)