题目

有关函数对称性
已知定义域R的函数y=f(x).
则1.f(x-1)=f(1-x)恒成立,则函数f(x)的图像关于直线x=0对称
2.f(x-1)的图像与f(1-x)的图像关于x=1对称
3.f(x+1)+f(1-x)=0恒成立,则f(x)图像关于（1,0）点对称.
4.函数y=-f(x-1)的图像与函数y=f(1-x)的图像关于（1,0)对称.
我已经一头雾水了.到底12 34有什么区别啊,这4条是怎么来的?救救我把

提问时间：2021-03-17

答案

1. 首先它讲的是函数本身关于某条直线对称,举个例子f(x)=x^2这个函数的图像就关于直线x=0对称,它为什么关于直线x=0对称是因为任取两个关于x=0对称的两个横坐标比如x0和-x0,对应的纵坐标f(x0)=f(-x0).同理可得：x-1与1-x是关于x=0对称的,而 f(x-1)=f(1-x),所以函数f(x)的图像关于直线x=0对称
2.首先它讲的是两个函数的图像关于某条直线对称.两个函数关于某条直线对称的条件是取两个关于直线对称的横坐标,对应的纵坐标相等.此题中任取两个关于x=1对称的两个横坐标比如1+x0和1-x0,两个函数f(x-1)与f(1-x)的纵坐标y1=f(1+x0-1)=f(x0)与y2=f(1+x0-1)=f(x0)相等,所以f(x-1)的图像与f(1-x)的图像关于x=1对称
3.首先它讲的是函数本身关于某个点对称的问题.例如f(x)=x^3这个函数的图像就关于点（0,0)对称,它为什么关于点（0,0)对称,是因为任取两个关于x=0对称的两个横坐标比如x0和-x0,对应的纵坐标f(x0)=-f(-x0).同理可得：此题中f(x)图像关于（1,0）点对称是因为任取两个关于x=1对称的两个横坐标比如1+x0和1-x0始终有f(x0+1)=-f(1-x0)成立.
4.首先它讲的是两个函数的图像关于某个点对称的问题.两个函数关于某个点对称的条件是取两个关于这个点对称的横坐标,对应的纵坐标正好相反.此题中任取两个关于（1,0)对称的两个横坐标比如1+x0和1-x0,两个函数f(x-1)与f(1-x)的纵坐标y1=-f(1+x0-1)=f(x0)与y2=f(1+x0-1)=f(x0)相反,所以f(x-1)的图像与f(1-x)的图像关于点（1,0)对称