题目

半径为5的圆O内有一点P,且OP=4 则过点P的最短弦长为（ ）,最长弦长为（ ）
最短的就是6 最长是10
最短的就是垂直于op的 最长的就是经过op的也就是直径
为什么呢?

提问时间：2021-03-17

答案

在圆中,直径是最长的弦,所以最长的是过op的直径
垂直于op的弦是最短的,可以简单的证明一下：
任作一条过p的弦CD,设AB是过p点且垂直于op的弦
由相交弦定理,CP*DP=AP*BP=定值
由均值不等式,4*CP*DP=2倍根号项CP*DP,当且仅当cp=dp时取等号
cp+dp就是过p点的弦长,所以 弦长>=2倍根号项CP*DP
当且仅当cp=dp时取得最小值,此时CD与AB重合,所以AB就是最短弦
如果你还没上高中,没学过均值不等式,也可以观察图形的变化.
弦长的一半 (d/2)^2=(r/2)^2-(弦心距)^2
圆的半径是定值,所以当弦心距最大时,d有最小值
很明显,当弦与op垂直时,弦心距最大；当弦与op重合时弦心距最小（为0）
所以,弦与op垂直时,最短；弦与op重合时最长