题目

如图：

（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

提问时间：2021-03-17

答案

（1）AR=AQ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵RP⊥BC，
∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC．
∵∠BQP=∠AQR，
∴∠PRC=∠AQR，
∴AR=AQ；
（2）猜想仍然成立．证明如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠ABC=∠PBQ，
∴∠PBQ=∠C，
∵RP⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，
∴∠BQP=∠PRC，
∴AR=AQ．