题目

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）若a+c＝

3

，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．

提问时间：2021-03-17

答案

（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac-----------------------（2分）
∵B=60°
∴cosB＝

a2+c2−b2

2ac

＝

1

2

-----------------------（4分）
联立方程组

b2＝ac a+c＝ 3 a2+c2−b2 2ac ＝ 1 2

，
解得a＝b＝c＝

3

2

-----------------------（6分）
（Ⅱ）cosB＝

a2+c2−b2

2ac

＝

a2+c2−ac

2ac

-----------------------（8分）
∵a²+c²≥2ac，∴cosB＝

a2+c2−ac

2ac

≥

2ac−ac

2ac

＝

1

2

-----------------------（10分）
∴0°＜B≤60°-----------------------（12分）

（Ⅰ）利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值；（Ⅱ）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求角B的取值范围．

本题考点：等比数列的性质；余弦定理．

考点点评：本题考查等比数列的性质，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．