题目

物理大题…力电综合
为研究静电除尘问题,有人设计了一个盒状容器,容器侧面时绝缘的透明有机玻璃,它的上下底面时面积A＝0.04㎡的金属板,间距L＝0.05m,当连接到U＝2500V的高压电源正负两极时,能在两金属板间产生一个匀强电场.现把一定量均匀分布的烟尘颗粒密闭在容器中,每立方米有烟尘颗粒10^13个.假设这些颗粒都处于静止状态,每个颗粒带电量为q＝＋1.0×10^-17C,质量为m＝2.0×10^-15kg,不考虑颗粒间的相互作用力和空气阻力,并忽略其重力,求合上开关后：
①除尘过程中电场对烟尘颗粒共做了多少功?
②经过多长时间容器中烟尘颗粒的总动能达到最大?
但第一题答案是2.5×10^-4J啊
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可第二题的答案是0.014s
我真的快疯了

提问时间：2021-03-17

答案

1、烟尘总个数：n=ρV= 10^13*0.04*0.05=2*10^10
除尘结束时烟尘粒子的平均位移：
s=（1/2）d=0.5*0.05=0.025m
忽略重力,故除尘总功为
W=nFs=nqEs=nqUs/d
= 2*10^10*1.0×10^-17*2500*0.025/0.05=2.5×10^(-4)J
2、设烟尘运动时间为t时有最大动能.
此时运动烟尘的个数：n1=(n/d)*（d-at^2/2）
每个运动烟尘粒子的动能：
Ek1=（1/2）mV^2=（1/2）m(at)^2
故总动能为：
Ek=n1*Ek1=(n/d)*（d-at^2/2）*（1/2）m(at)^2
=（nma^2）*(t^2-at^4/2d)
【先前因错误分析函数极值导致数据错误,以下为修改内容】
由上式可知Ek是关于t的函数.对其求导,得
（Ek）'=（nma^2）*(2t-2at^3/d)
当2t-2at^3/d=0时Ek有极值.可求出t的几个取值：
t1=0,t2=-（d/a）^(1/2) ,t3=（d/a）^(1/2),
结合本题,只有t3符合题意.将a=qE/m=qU/md及其他数值代入得
t=（md^2/qU）^(1/2)
=[(2.0×10^-15*0.05^2)/(1.0×10^-17*2500)]^(1/2)
=(0.0002)^(1/2)≈0.014秒
好累,高中的物理题竟然用上了高等数学的求极值知识.不过总算得出正确结果,这个过程也是一种快乐享受.