题目

微积分题求解
设f(x)可微,f(0)=0,f'(0)=1,F(x)=∫tf(x²-t²)dt（注：积分下限是0,上限是x）
这道题答案上写等量代换 x²-t²=u,然后直接就得出 F(x)=½∫f(u)du（积分下限是0,上限是x²）.
请问这一步是怎么得到的,麻烦告知具体的解题过程,

提问时间：2021-03-17

答案

变量代换：x²-t²=u
两边微分：0 - 2tdt = du
在没有积分之前,变量是 t,x 是积分的上限
所以：tdt = -(1/2)du
又因为：x²-t²=u,t:0--->x,u:x²--->0
所以：∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du
此时的积分区间是：x²--->0
上下区间对调后,得：
∫tf(x²-t²)dt =-(1/2)∫f(u)du 【x²--->0】
=(1/2)∫f(u)du 【0--->x²】