题目

用数学归纳法证明猜想结果
在数列{an}中,a1=1,且4a (n+1)-ana(n+1)+2an=9 {括号内的是下标}
我猜想其通项公式是an=(6n-5)/(2n-1)
怎么写证明过程?

提问时间：2021-03-17

答案

4a (n+1)-ana(n+1)+2an=9
先化简
a(n+1)(4-an)=9-2an
a(n+1)=(9-2an)/(4-an)
当n=1时
a1=1
a1=(6-5)/(2-1)=1
通项公式成立
当n=2时
a2=（9-2a1)/(4-a1)=(9-2)/(4-1)=7/3
a2=(6*2-5)/(2*2-1)=7/3
通项公式成立
设当n=k时,通项公式成立
ak=(6k-5)/(2k-1)
当n=k+1时
a(k+1)=(9-2ak)/(4-ak)
=(9-2(6k-5)/(2k-1))/(4-(6k-5)/(2k-1))
=[(9(2k-1)-2(6k-5)]/[4(2k-1)-(6k-5)]
=(6k+1)/2k+1
=[6(k+1)-1]/[2(k+1)-1]
所以通项公式成立.
综上所说,an=(6n-5)/(2n-1)