题目

已知函数f（x）=(x+a)/(x^2+b)是定义在r上的奇函数,值域为【-1/4,1/4】（Ⅰ）求a,b值（Ⅱ）函数y=g（x）（x属于R）满足 ① 当x属于〔0,3）时,g（x）=f（x） ② g（x+3）=g（x）Inm(m不等于1)（1）求g（x）在〔3,9）上的解析式（2）若g（x）在x属于零到正无穷上的值域是闭区间,求m取值范围

提问时间：2021-03-16

答案

f(x)=-f(-x)(x+a)(x^2+b)=(x-a)(x^2+b)a =0
另y = f(x)yx^2+yb-x=0△≥0y^2≤1/4b
而y∈[-1/4,1/4]b=1/4(2)
∵g(x+3)=g(x)lnm
∴g(x)=g(x-3)lnm
当x∈[0,3)时
,g(x)=f(x)=x/(x^2+1/4)令x属于[3,6),
x-3∈[3,6)
g(x)=g(x-3)lnm=f(x-3)lnm=(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm
令x属于[6,9),
x-3∈[3,6)g(x)=g(x-3)lnm=(x-3)/[(x-6)^2+1/4]lnm
所以：g(x)=(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm
x∈[3,6)(x-6)/[(x-6)^2+1/4]lnm
x∈[6,9)根据以上可知,当x属于[0,正无穷）
g(x)的函数可以表示成：g(x)=(x-n)/[(x-n)^2+1/4]lnm 其中n为常数,
当x属于[0,3)时,m=e
令y=g(x),
则：y[(x-n)^2+1/4]lnm = x-nyx^2+yn^2-2nxy+y/4-xlnm+nlnm=0
△≥0(2ny+lnm)^2 -4y(yn^2+y/4+nlnm)≥0
y^2≥(lnm)^2
因为y的取值为闭区间,
∴lnm ≠ 0 ,
m ≠ 1即m∈(0,1)U(1,正无穷)