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题目
(阅读理解题)如图所示,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD,CE交于点O,且AO平分∠BAC.

(1)图中有多少对全等三角形?请一一列举出来(不必说明理由);
(2)小明说:欲证BE=CD,可先证明△AOE≌△AOD得到AE=AD,再证明△ADB≌△AEC得到AB=AC,然后利用等式的性质得到BE=CD,请问他的说法正确吗?如果正确,请按照他的说法写出推导过程,如果不正确,请说明理由;
(3)要得到BE=CD,你还有其他思路吗?若有,请写出推理过程.

提问时间:2021-03-16

答案
(1)图中有4对全等三角形,有△ADB≌△AEC,△ADO≌△AEO,△AOB≌△AOC,△EOB≌△DOC.
(2)正确,
理由是:∵AO平分∠BAC,
∴∠EAO=∠DAO,
∵CE⊥AB,BD⊥AC,
∴∠AEO=∠ADO=90°,
∴在△AEO和△ADO中
∠EAO=∠DAO
∠AEO=∠ADO
AO=AO

∴△AEO≌△ADO(AAS),
∴AE=AD,
在△ADB和△AEC中
∠BAD=∠CAE
AD=AE
∠ADB=∠AEC

∴△ADB≌△AEC(ASA),
∴AB=AC,
∵AE=AD,
∴BE=CD.
(3)有,
理由是:∵AO平分∠BAC,OE⊥AB,OD⊥AC,
∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°,
在△BEO和△CDO中
∠BEO=∠CDO
OE=OD
∠EOB=∠DOC

∴△BEO≌△CDO(ASA),
∴BE=CD.
(1)根据全等三角形的判定得出即可.
(2)求出∠EAO=∠DAO,∠AEO=∠ADO=90°,根据AAS证△AEO≌△ADO,推出AE=AD,根据ASA证△ADB≌△AEC,推出AB=AC即可.
(3)根据垂直和角平分线性质得出OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°,根据ASA推出△BEO≌△CDO即可.

全等三角形的判定与性质.

本题考查了全等三角形的性质和判定,角平分线性质的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,全等三角形的对应角相等,对应边相等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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