题目

问两道解析几何的题
1 过抛物线y^2=4x的焦点作直线与抛物线交与P,Q两点,那么弦PQ中点轨迹方程是?
2 抛物线y=(1/2)x^2上距A（0,a)（a>0)最近的点恰好是顶点,这个结论成立的充要条件是?
A a>0 B 0

提问时间：2021-03-16

答案

(1)
设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ中点M(x,y).
则y1²=4x1,y2²=4x2
两式相减得：(y1 +y2)( y1 -y2)=4(x1- x2)
因为y1 +y2=2y,
所以( y1 -y2)/(x1- x2)=4/(2y)=2/y.
又因PQ过焦点(1,0),所以直线的斜率又可表示为y/(x-1).
∴2/y =y/(x-1).
y²=2(x-1).这就是线段PQ中点的轨迹方程.
(2)
选B
设点B(x,y)是抛物线上的点
则距离|AB|²=x²+(y-a)²抛物线y=1/2x²代入得
|AB|=2y+y²-2ya+a²=y²+2(1-a)y+a²
∵y≥0,而且当y=0时取最小值
∴f(y)=y²+2(1-a)y+a²在（0,∞）上递增
求导f ‘（y）=2y+2（1-a）≥0
1-a≥0
所以a≤1
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