题目

若1+2+3+…+k之和为一完全平方数N²，并且N小于100，则K的可能值是______．

提问时间：2021-03-16

答案

1+2+3+…+k=

1

2

k(k+1)＝N2
因为（k，k+1）=1，
所以

k＝2α2 k+1＝β2

或

k＝α2 k+1＝2β2

（α，β是正整数）
经逐一代入得到满足N＜100，即αβ＜100的解有k=1，8或49．
故答案为1，8或49．

根据等差数列求和公式，求出1+2+3+…+k的和，再根据完全平方数的定义得出

k＝2α2 k+1＝β2

或

k＝α2 k+1＝2β2

（α，β是正整数），依次代入计算即可得出．

本题考点：完全平方数．

考点点评：本题考查了等差数列求和公式和完全平方数，解题的关键是由等差数列的和得出方程组．