题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E为的PC中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/377adab44aed2e739e684bad8401a18b86d6faaa.jpg)
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:平面PBC⊥平面PDC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/377adab44aed2e739e684bad8401a18b86d6faaa.jpg)
(1)求证:PA∥平面BDE;
(2)求证:平面PBC⊥平面PDC.
提问时间:2021-03-16
答案
证明(1)连接AC交BD于O,连接EO,PO.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912be9548e0fb198618377ae284.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,∴O是AC中点,
又E为PC中点.∴PA∥EO.
又EO⊂面BDE,PA⊄面BDE,
∴PA∥平面BDE.
(2)在△PAC中,由三角形的中位线定理可得OE=
PA=1,
而BD=2,∴OE=
BD.
又O为BD的中点,
∴∠BED=90°,即BE⊥DE.
又PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC.
又PC∩DE=E,
∴BE⊥面PDC,又BE⊂面PBC,
∴平面PBC⊥平面PDC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f703738da9773912be9548e0fb198618377ae284.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,∴O是AC中点,
又E为PC中点.∴PA∥EO.
又EO⊂面BDE,PA⊄面BDE,
∴PA∥平面BDE.
(2)在△PAC中,由三角形的中位线定理可得OE=
1 |
2 |
而BD=2,∴OE=
1 |
2 |
又O为BD的中点,
∴∠BED=90°,即BE⊥DE.
又PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC.
又PC∩DE=E,
∴BE⊥面PDC,又BE⊂面PBC,
∴平面PBC⊥平面PDC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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