题目
如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,CE平分∠ACB,交AD于G,GF∥BC交AB于F,求证:AE=BF.
提问时间:2021-03-16
答案
证明:如图,
∵∠BAC=90°,
∴在Rt△BAC中,∠B+∠BCA=90°.
∵AD⊥BC与点D,
∴在Rt△ADC中,∠DAC+∠BCA=90°,
∴∠B=∠DAC,
过点G作GH∥AB,
又∵GF∥BC,
∴四边形BHGF为平行四边形,
∴BF=GH,∠B=∠GHD,
∴∠GHD=∠DAC,
在△ACG和△HCG中
,
∴△ACG≌△HCG(AAS),
∴AG=GH,
∴BF=AG.
∵∠AGE=∠CGD,
在Rt△CDG中,∠CGD+∠GCD=90°,
∴∠AGE+∠GCD=90°.
又∵在Rt△CAE中,∠ACG+∠AEG=90°,
∴∠AGE=∠AEG,
∴AE=AG,
∵BE=AG,
∴AE=BF.
∵∠BAC=90°,
∴在Rt△BAC中,∠B+∠BCA=90°.
∵AD⊥BC与点D,
∴在Rt△ADC中,∠DAC+∠BCA=90°,
∴∠B=∠DAC,
过点G作GH∥AB,
又∵GF∥BC,
∴四边形BHGF为平行四边形,
∴BF=GH,∠B=∠GHD,
∴∠GHD=∠DAC,
在△ACG和△HCG中
|
∴△ACG≌△HCG(AAS),
∴AG=GH,
∴BF=AG.
∵∠AGE=∠CGD,
在Rt△CDG中,∠CGD+∠GCD=90°,
∴∠AGE+∠GCD=90°.
又∵在Rt△CAE中,∠ACG+∠AEG=90°,
∴∠AGE=∠AEG,
∴AE=AG,
∵BE=AG,
∴AE=BF.
根据余角的性质,可得∠B=∠7的关系,根据平行四边形的判定与性质,可得BF=GH,∠B=∠6,根据全等三角形的判定与性质,可得AG与GH的关系,根据余角的性质,∠3与∠5的关系,根据等腰三角形的判定,可得AE与AG的关系,根据等量代换,可得答案.
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
本题考查了全等三角形的判定与性质,利用了全等三角形的判定与性质,余角的性质,平行四边形的判定与性质运用的知识较多,题目有一定难度.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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