题目

函数f（x）在闭区间[0,1]连续,求证：∫（0-1）f（x）dx∫（x-1）f（y）dy=1∕ 2[∫（0-1）f（x）dx]2
注意：∫（0-1）f（x）dx表示函数f（x）在[0,1]上的定积分,由于不会输入特殊符号才这么表示的

提问时间：2021-03-16

答案

你写的有点问题.
前面那个是累次积分啊,关于y的积分区间含有变量x,要放到关于x的积分里面.
记左边是M
那么M=∫（0-1）f(x)(∫（x-1）f(y)dy)dx=∫（0-1）(∫（x-1）f(x)f(y)dy)dx 下面交换积分次序,先对x积分,注意这时候积分范围变成0<=x<=y, 0<=y<=1
=∫（0-1）(∫（0-y）f(x)f(y)dx)dy=∫（0-1）f(y)(∫（0-y）f(x)dx)dy
现在把变量符号换一下,x换成y,y换成x
=∫（0-1）f(x)(∫（0-x）f(y)dy)dx=M
现在M=∫（0-1）f(x)(∫（x-1）f(y)dy)dx
且 M=∫（0-1）f(x)(∫（0-x）f(y)dy)dx
两个式子加起来
2M=∫（0-1）f(x)(∫（0-1）f(y)dy)dx 注意这时候关于y的积分区域加起来变成0-1了
现在积分区域和x,y都没关系了
=∫（0-1）f(x)dx *∫（0-1）f(y)dy=[∫（0-1）f（x）dx]^2
所以M=1/2*[∫（0-1）f（x）dx]^2