题目

设函数f（x）=

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x⁴+bx²+cx+d，当x=t₁时，f（x）有极小值．
（1）若b=-6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间[m-2，m+2]上单调递增，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-03-16

答案

（1）因为f（x）=

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4

x⁴+bx²+cx+d，
所以h（x）=f′（x）=x³-12x+c．
由题设，方程h（x）=0有三个互异的实根．
考察函数h（x）=x³-12x+c，则h′（x）=0，得x=±2．

所以

c+16＞0 c−16＜0

故-16＜c＜16．
（2）存在c∈（-16，16），
使f′（x）≥0，即x³-12x≥-c，（*）
所以x³-12x＞-16，
即（x-2）²（x+4）＞0（*）在区间[m-2，m+2]上恒成立．（7分）
所以[m-2，m+2]是不等式（*）解集的子集．
所以

m−2＞−4 m+2＜2

或m-2＞2，
即-2＜m＜0，或m＞4．（9分）

（1）由于：“方程h（x）=0有三个互异的实根．”，通过列出表格，结合导数的零点问题讨论即可；（2）存在性问题，只需即（x-2）2（x+4）＞0（*）在区间[m-2，m+2]上恒成立，最后转化为子集问题即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题综合考查了函数的导数，零点，极值与恒成立问题．