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题目
设M是△ABC内一点,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(P)=(
1
2
,x,y)则
1
x
+
4
y
的最小值(  )
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18

提问时间:2021-03-16

答案
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,∴cbcos30°=2
3
,化为bc=4.
S△ABC
1
2
bcsin30°
=1.
∴f(P)=
1
2
+x+y=1
,得x+y=
1
2
.(x>0,y>0).
1
x
+
4
y
=2(x+y)(
1
x
+
4
y
)
=2(5+
y
x
+
4x
y
)
≥2(5+2
y
x
4x
y
)
=18.当且仅当y=2x=
1
3
时取等号.
1
x
+
4
y
的最小值为18.
故选D.
利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式,再利用基本不等式即可得出.

基本不等式;平面向量数量积的运算.

熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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