题目
设M是△ABC内一点,且
•
=2
,∠BAC=30°,定义f(M)=(m,n,p),其中m、n、p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(P)=(
,x,y)则
+
的最小值( )
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18
AB |
AC |
3 |
1 |
2 |
1 |
x |
4 |
y |
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18
提问时间:2021-03-16
答案
∵
•
=2
,∠BAC=30°,∴cbcos30°=2
,化为bc=4.
∴S△ABC=
bcsin30°=1.
∴f(P)=
+x+y=1,得x+y=
.(x>0,y>0).
∴
+
=2(x+y)(
+
)=2(5+
+
)≥2(5+2
)=18.当且仅当y=2x=
时取等号.
∴
+
的最小值为18.
故选D.
AB |
AC |
3 |
3 |
∴S△ABC=
1 |
2 |
∴f(P)=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
1 |
x |
4 |
y |
1 |
x |
4 |
y |
y |
x |
4x |
y |
|
1 |
3 |
∴
1 |
x |
4 |
y |
故选D.
利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式,再利用基本不等式即可得出.
基本不等式;平面向量数量积的运算.
熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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