题目

设M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（P）=（

1

2

，x，y）则

1

x

+

4

y

的最小值（　　）
A. 8
B. 9
C. 16
D. 18

提问时间：2021-03-16

答案

∵

AB

•

AC

＝2

3

，∠BAC=30°，∴cbcos30°=2

3

，化为bc=4．
∴S△ABC＝

1

2

bcsin30°=1．
∴f（P）=

1

2

+x+y＝1，得x+y＝

1

2

．（x＞0，y＞0）．
∴

1

x

+

4

y

＝2(x+y)(

1

x

+

4

y

)=2(5+

y

x

+

4x

y

)≥2(5+2

y x • 4x y

)=18．当且仅当y＝2x＝

1

3

时取等号．
∴

1

x

+

4

y

的最小值为18．
故选D．

利用数量积即可得出三角形ABC的面积和x与y的关系式，再利用基本不等式即可得出．

本题考点：基本不等式；平面向量数量积的运算．

考点点评：熟练掌握三角形的面积计算公式、数量积运算和基本不等式是解题的关键．