题目

已知点P是边长为8的正方形ABCD所在 平面外的一点,且PA=PB=PC=PD=8,M、N分别在PA、BD上,且PM/MA=BN/ND=1/2,则MN=?

提问时间：2021-03-16

答案

设P到平面ABCD的垂足为O
M点所在的边PA=8,PM=8/3,MA=16/3
N点在BD上,BN=BD/3=2BO/3,也就是说N点在直角三角形ABC的A点到BC边的中点的连线上(设这条线为AE,交点记为E),且是在重心上.
E是等边三角形PBC上BC边的中点.BE=4
AE^2=AB^2+BE^2
AE=4√5
PE=√3PB/2=4√3
AN=2AE/3=8√5/3
所以,MN所在的三角形三条边的长度分别为：PA=8,PE=4√3,AE=4√5
由于,AN=2AE/3,AM=2AP/3,所以,MN‖PE
根据相似比,MN=(2/3)*PE=8√3/3