题目

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥面ACE．

（1）求证：AE⊥BC；
（2）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥面ADE；
（3）若 BE=4，CE=4

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，且二面角A-BC-E的大小为45°，求三棱锥C-ABE的体积．

提问时间：2021-03-16

答案

（1）证明：∵BM⊥面ACE，AE⊂面ACE，∴BM⊥AE∵AE⊥BE，BM∩BE=B∴AE⊥面BCE∵BC⊂面BCE∴AE⊥BC；（2）取DE中点P，连接PM，AP∵BC=BE，BM⊥AE∴M为CE的中点∴MP∥12DC∥AN∴AMNP为平行四边形∴MN∥AP∵MN⊄面ADE，...

（1）证明BM⊥AE，AE⊥BE，可得AE⊥面BCE，从而可得AE⊥BC；
（2）取DE中点P，连接PM，AP，证明AMNP为平行四边形，从而可证MN∥面ADE；
（3）证明∠ABE为二面角A-BC-E的平面角，可得AE=BE=4，从而可求三棱锥C-ABE的体积．

本题考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评：本题考查线面位置关系，考查线面平行，线面垂直，考查线线垂直，考查三棱锥的体积，掌握线面平行，线面垂直的判定方法是关键．