题目

求积分∫（0到√2）dy∫（y到（4-y^2）^0.5）1/(1+x^2+y^2)^(1/2)dx

提问时间：2021-03-16

答案

主要思路：把直角坐标(x,y)先做代换到极坐标(r,theta),theta部分积分与r无关直接积出,r部分的再做一个三角代换积出.
注意第一次变换时积分区域,相当于一个半径为2,在x轴上方的半圆区域
r的范围(0,2),theta的范围(0,pi)
积分变为：
∫（0到pi）∫（0到2）1/(1+r^2)^(1/2)rdrd(theta)
theta部分直接积出,为pi
r的部分再作一次三角代换,r = tan t
dr = (sec t)^2 dt
1/(1+r^2)^(1/2)rdr
= (sec t)(tan t)dt
= (sin t)/(cos t)^2 dt
= -1 / (cos t)^2 d(cos t)
上式很容易作不定积分得出 = 1/3 * (cos t)^-3
最后把积分上下限代回,作一些需要的逆变换,就可以算下来了