题目

在1—100这100个自然数中,任取21个.求证：一定存在四个数,其中有两个数之和等于另两个数之和.
我目前是初中水平，第一句就看不懂，请“不能细说”再说细点，

提问时间：2021-03-16

答案

【证明】21个数中,存在四个数A、B、C、D,满足A+B=C+D,也就是A-C=D-B,问题等价于,一定存在四个数,其中有两个数之差,等于另两个数之差!
反设不成立,也就是说,100内,能抽取21个数,使得任何两个数之差都不相同!（这些差可以是1,2,3,4,5,.）
而从1~100中抽取两两相邻数之差都不相同的最大集合是（两相邻之差依次递增）{1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92}
总共是14个数,而21个数的话可以从中找到四个数m、n、s、t,使其中m-n=s-t
与反设矛盾!
因此命题得证!