题目

极限计算题x趋向0 (1+1/x)^x=
我知道x趋向无穷时是定理，但x趋向0还是定理？

提问时间：2021-03-16

答案

lim x->0 (1+1/x)^x=lim x->0 e^[x*ln(1+1/x)]
当x->0-时,1+1/x->负无穷,ln(1+1/x)无意义;
当x->0+时,1+1/x->正无穷,所以ln(1+1/x)->正无穷,由洛必达法则知x*ln(1+1/x)->0,此时lim x->0+ (1+1/x)^x=e^[lim x->0+ x*ln(1+1/x)]=e^0=1.[用到了函数的连续性知识]
综上,只有x->0+时,有lim x->0+ (1+1/x)^x=1.