题目

对称三对角矩阵的性质
证明：若一个实对称三对角矩阵有k重特征值,则它至少有k-1个次对角元为0.

提问时间：2021-03-16

答案

首先 实对称阵 相似于对角阵 且特征值为实数
只需证明（1）次对角元全非0时 所有特征值2,2不同就行了
这是因为我们可以把原矩阵分块成 一个对角阵和一个实对称三对角矩阵（设阶数分别为 s,t ） 使得这个子阵的的次对角元都是0 则 若（1）成立 则 这个子阵的的对角元2,2不同 因为s阶对角阵最多有s重根 所以合起来最多有s+1重根（注意到 s恰是 次对角元中0的个数）
下面证明（1）
记此阵为 A 对角元为 a1,a2,...an 次对角元为 b1,b2...b(n-1) (bi 均非0)则
若x为一个A的特征值 欲证特征子空间维数维1
则因为A-xI 仍为 实对称三对角矩阵 且次对角元不变
所以我们只需在x=0时证明就行了
设 x1,x2,...xn为0的特征向量
则 a1x1+b1x2=0 b1x1+a2x2+b2x3=0...
则 x2=-a1/b1*x1 x3=-1/b2(b1x1+a2x2)...
所以 （x1,x2...xn）由x1唯一决定 所以维数是1 得证